有一个广为流传的故事,说著名数学家高斯有一个懒惰的老师。所谓老师是想让孩子忙起来,好让他午睡,于是让全班同学把数字1加到100。
高斯回答他:5050。速度很快,老师怀疑作弊,但高斯肯定没有!手动将1加到100是笨拙的,高斯找到了一个公式来避免这个问题:
下面分享一些关于这个结果的解释,真正直观的理解一下。对于这些例子,我们将把1加到10,然后看看如何把它应用到1到100(或1到任何数)。
1:匹配数字
配对数字是解决这个问题的常用方法。不要将所有数字都写在一列中,而是按如下方式排列:
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
有一个有趣的模式:每列的总和是11。随着上一行数字的增加和下一行数字的减少,每列的总和保持不变。
因为1和10(我们的n)配对,所以可以说每一列都有(n+1)。我们有多少对,我们有2个相等的行,我们有n/2对。
这是上面高斯的公式。
奇数项怎么办?
啊,我很高兴你提到它。如果把优优资源网的数字1到9相加呢?我们没有偶数的物品来配对。
让我们把9加到数字1上,而不是从1开始,让我们从0开始计数:
0 1 2 3 4
9 8 7 6 5
通过从0开始计数,我们获得了一个“额外项”(总共10个),因此我们可以获得偶数行。然而,我们的公式看起来会有所不同。
请注意,由于0和9是分组在一起的,所以每列之和是N(而不是N+1);和以前一样);我们在2行中有n +1个项目,总共(n+1)/ 2对(而不是在2行中正好有n个项目,总共n/2对)。如果您插入这些数字,您将得到:
和以前一样的配方!同一个公式对奇数和偶数都有效!
2:使用两条线。
上面的方法是有效的,但是你对奇数和偶数的处理是不同的,需要分别处理。有没有更好的办法?是的。
让我们把它们写成两行,而不是绕圈子:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
请注意,我们有10对,每对加起来是10+1,每列的总数是11。
以上所有数字的总和是
但是我们只想要一行的和,不是两行。所以我们把上面的公式除以2得到:
这很酷(像数字线一样酷)。它适用于奇数或偶数的相同项目!
3.做一个长方形。
这是一种解释旧配对的新方法。不同的解释对不同的人更有效,我倾向于这一种。假设我们用beans(用X表示)代替写数字。我们想在2到3个豆子中加入1个豆子…一直到5个豆子。
当然,我们可以选择10个或100个豆子,但5个也行。我们如何计算三角形中豆子的数量?
嗯,总和明显是1+2+3+4 +5。但是让我们换个角度来看。假设我们镜像三角形(我将使用“O”表示镜像bean),然后翻转它:
很酷吧。变成一个矩阵团队。请看矩阵的最下面一行。它有五个X和一个O。在前一行中,1个X(共4个)减少,1个O(共2个)增加。就像配对一样,一边在增加,一边在减少。
现在解释一下:我们总共有多少颗豆子?这是矩形的面积。
我们有n行(我们没有改变矩形的行数),我们集合的宽度是(n+1)个单位,因为1个“O”和所有的“X”配对。
请注意,这一次,我们不管n是奇数还是偶数,总面积公式都是一样的。如果n是奇数,则每行的项目数是偶数(n+1)。
但是,我们当然不要总面积(X和O的个数),只要X的个数,既然我们把X翻倍得到O,那么X本身只占总面积的一半:
我们又回到了原来的公式。同理,三角形中x的悠悠球资源网络数= 1+2+3+4+5,或者1到n的和。
技术:平均
我们都知道
平均值=总数/数量
我们可以把它改写成
总数=平均数*数量
所以,我们来算一下总和。如果我们有100个数字(1…100),那么显然我们有100个项目。
为了得到平均值,请注意所有的数字都是平均分布的。每一个大数字,另一个优优资源网都有一个小数字。我们来看一个小插曲:
1 2 3
平均值为2。2已经在中间了,1和3“抵消”了,所以他们的平均值是2。
对于偶数个项目
1 2 3 4
2到3之间的平均值是2.5。
注意,在这两种情况下,平均值的最左边是1,而最右边是n,因此,我们可以说,整个集合的平均值实际上只是1和n: (1+n)/ 2的平均值。
把它放在我们的公式里。
看啊!我们有第四种方式来思考我们的公式。
为什么这很有用?
三个原因:
1)快速添加数字可能对预测有用。
请注意,该公式扩展为:
1000加1。假设你的网站每天增加1个粉丝,那么在1000天内你会有多少访客?由于1000的平方等于100万,我们将获得100万/2+1000/2 = 500500次访问。
2)这种把数字1加到n上的概念出现在其他地方,比如算出来的可能性。牢牢掌握这个公式,有助于你多方面的理解。
3)最重要的是,这个例子展示了理解公式的多种方法。也许你喜欢配对法,也许你更喜欢矩形技术,或者有另一种适合你的解释。当你不明白的时候,请不要放弃——试着去寻找另一种可能的解释。